미션임파시블 월-E의 큐브대작전

에휴~, 큐브에 매달린 지 벌써 5년. 하지만 아직도 그 답을 모르겠어. 이브는 어떻게 이 큐브를 단번에 맞춘 거지? 앗! 내 소개가 늦었군. 난 무엇이든 큐브 모양으로 만들어 버리는 폐기물 수거 로봇 월-E야. 최근 업그레이드 돼서 말도 술술 잘해. 그런데 2008년 지구로 돌아온 이후 뒤죽박죽 섞인 이 큐브 때문에 아무것도 못하고 있어. 너희들도 기억하지? 이브가 단번에 맞춘 이 큐브 말이야. 나도 당당하게 이 큐브를 맞추고 이브에게 프로포즈 할 생각이거든. 누구 큐브 맞출 수 있는 사람, 어디 없어요?



큐브, 플라톤에게 물어봐!

아무래도 안 되겠어. 내 검색기능을 이용해 큐브를 설명해 줄 사람을 찾아봐야겠어. 쓰레기 처리 로봇이 그런 기능도 있냐고? 말했잖아. 그 사이 업그레이드 됐다고. 어디 보자…. 플라톤? 큐브에 대해 가장 많이 연구한 수학자가 플라톤이라고 나오네.

★ 플라톤의 일문일답

❶ 큐브 퍼즐을 맞추기 위해서는 무엇을 공부해야 하나요?

●큐브를 섞을 수 있는 모든 경우의 수를 구하세요.
경우의 수를 구하기 위해서는 큐브가 어떻게 돌아가는지 그 원리를 모두 알아야 합니다. 따라서 이를 해결하면 퍼즐을 맞추는 실마리가 보일 거예요.

●최소 몇 번 안에 큐브를 맞출 수 있는지 구하세요.
이를 구하기 위해서는 앞에서 구한 각각의 경우에 대해 해법을 찾아봐야 해요. 그러면 모든 경우에 대해 맞추는 방법을 알았으니, 당연히 어떤 큐브도 맞출 수 있겠죠? 그런데 두 문제를 해결하려면 큐브가 정육면체로 이루어진 만큼 정육면체의 수학적 특징에 대해서도 알아야 해요.

❷ 정육면체란 무엇인가요?

정육면체는 한 개의 꼭짓점에서 3개의 면이 만나고 6개의 정사각형으로 둘러싸여 있는 3차원 도형이에요. 영어로 큐브(cube)라고 하지요. 겉넓이가 같은 직육면체 중에 부피가 가장 크다는 특징이 있어요.

❸ 누가 만들었나요?

하도 오래 전 일이라 기록으로 남아 있지 않아요. 하지만 지금으로부터 최소 3000년 전 사람들도 정육면체에 대해 알고 있었어요. 스코틀랜드의 후기신석기시대 사람들이 만든 돌조각에 정육면체가 그려져 있거든요. 정육면체 형태의 주사위도 이 시기에 만들어졌어요.

자기 자리만 좋아하는 큐브

플라톤 박사님과 이야기를 나누다 보니 문득 아이디어가 떠올랐어. 큐브를 요리조리 돌리다보면 일정한 규칙이 있거든. 이것을 이용하면 경우의 수를 구하는 데 도움이 되지 않을까? 내가 발견한 규칙, 한번 들어 볼래?

정육면체의 가운데 있어 안 보이는 큐브 조각 1개를 제외한 26개의 큐브 조각은 위치한 자리에 따라 세 종류로 나
뉜다. 축과 모서리, 귀퉁이 큐브다. 층마다 축 큐브 1개와 모서리 큐브 4개, 귀퉁이 큐브 4개로 구성된다.



그런데 큐브를 이리저리 돌리다 보면 총 8가지 방법으로 큐브를 돌릴 수 있다는 재밌는 규칙을 발견하게 된다. 1행과 3행을 오른쪽 또는 왼쪽으로 돌리거나, 1열과 3열을 위쪽 또는 아래쪽으로 돌리는 경우다.

그런데 이 방법을 이용해 여러 번 큐브를 돌려도 모서리 큐브는 모서리 큐브 자리에, 귀퉁이 큐브는 귀퉁이 큐브 자리에 위치한다. 그리고 축 큐브는 절대로 움직이지 않는다.

(중략)