대칭 몬스터를 찾아라

우리는 얼마 전 도난당한 4차원 큐브를 되찾아 지구를 위험에서 구한 6명의 슈퍼영웅들이야. 이번엔 스파이더맨까지 초빙해 7명이 됐지. 우리가 이렇게 다시 모인 이유는 특별한 메시지를 받았기 때문이야. 수학계의 몬스터를 찾으라는 걸로 보아 몬스터가 수학계를 파괴하려고 하는 것 같아. 그렇다면 우리가 가만 있을 수 없지. 지구를 구한 우리가 수학계도 지킨다! 몬스터, 기다려라!



‘대칭’이란 무엇일까?

대칭이라고 하면 나비처럼 좌우가 같은 모양이 가장 먼저 떠오른다. 하지만 수학에서 대칭은 단순히 생김새만을 의미하는 것이 아니다. 어떤 대상을 자유자재로 이동시켜도 원래 모양과 똑같은 것을 뜻한다. 여기서 말하는 이동을 수학에서는 ‘변환’이라고 한다. 변환에는 회전이동과 평행이동, 반사, 미끄럼반사가 있다.

따라서 대칭이란 어떤 대상을 변환했을 때 처음과 같은 모양과 크기, 같은 위치에 놓이는 것을 말한다. 특별히 이런 변환을 모아 놓은 것을 ‘대칭 집합’이라고 한다. 일반적인 도형은 회전이동 또는 반사를 대칭으로 갖는다.



하지만 띠무늬나 테셀레이션 등 여러 도형이 무늬를 이루고 있는 경우에는 회전이동과 반사뿐만 아니라 평행이동과 미끄럼반사에 대해서도 대칭이 된다.

그렇다면 대칭 연구는 언제부터 시작된 걸까? 수학적인 대칭 연구는 기원전 500년 경 피타고라스학파의 수학자 테아이테토스가 정삼각형 또는 정사각형, 정오각형으로 이루어진 입체도형을 작도하는 데서 시작됐다. 결국 테아이테토스는 정사각형 6개로 둘러싸인 정육면체와, 정삼각형 20개로 둘러싸인 정이십면체를 처음으로 발견했다. 이처럼 대칭적 성질을 갖는 새로운 도형을 찾아내는 것은 대칭 연구 중 하나다.

대칭에 대한 연구는 프랑스의 수학자 에바리스트 갈루아가 남긴 60쪽 남짓의 논문을 통해 크게 발전했다. 수학들은 지금도 3차원보다 더 높은 차원에서 대칭 성질을 갖는 새로운 도형을 찾는 데 힘을 쏟고 있다.

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